10 διασκεδαστικά προβλήματα από ένα παλιό βιβλίο αριθμητικής

2024 Συγγραφέας: Malcolm Clapton | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 03:52

Αυτά τα προβλήματα συμπεριλήφθηκαν στο "Arithmetic" του LF Magnitsky - ένα εγχειρίδιο που εμφανίστηκε στις αρχές του 18ου αιώνα. Προσπαθήστε να τα λύσετε!

1. Βαρύλι κβας

Ένα άτομο πίνει ένα βαρέλι kvass σε 14 ημέρες και μαζί με τη γυναίκα του πίνει το ίδιο βαρέλι σε 10 ημέρες. Σε πόσες μέρες μια γυναίκα θα πιει ένα βαρέλι μόνη της;

Ας βρούμε έναν αριθμό που μπορεί να διαιρείται είτε με το 10 είτε με το 14. Για παράδειγμα, το 140. Σε 140 ημέρες ένα άτομο θα πιει 10 βαρέλια kvass και μαζί με τη γυναίκα του - 14 βαρέλια. Αυτό σημαίνει ότι σε 140 ημέρες η σύζυγος θα πιει 14 - 10 = 4 βαρέλια kvass. Στη συνέχεια θα πιει ένα βαρέλι kvass σε 140 ÷ 4 = 35 ημέρες.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

2. Στο κυνήγι

Ένας άντρας πήγε για κυνήγι με ένα σκύλο. Περπατούσαν μέσα στο δάσος και ξαφνικά ο σκύλος είδε έναν λαγό. Πόσα άλματα θα χρειαστούν για να προλάβει τον λαγό, αν η απόσταση από τον σκύλο στον λαγό είναι 40 άλματα σκύλου και η απόσταση που διανύει ο σκύλος σε 5 άλματα, ο λαγός τρέχει σε 6 άλματα; Εννοείται ότι οι αγώνες γίνονται και από τον λαγό και από τον σκύλο ταυτόχρονα.

Εάν ο λαγός κάνει 6 άλματα, τότε ο σκύλος θα κάνει 6 άλματα, αλλά ο σκύλος σε 5 άλματα από τα 6 θα τρέξει την ίδια απόσταση με τον λαγό σε 6 άλματα. Κατά συνέπεια, σε 6 άλματα, ο σκύλος θα πλησιάσει τον λαγό σε απόσταση ίση με ένα από τα άλματά του.

Δεδομένου ότι την αρχική στιγμή η απόσταση μεταξύ του λαγού και του σκύλου ήταν ίση με 40 άλματα σκύλου, ο σκύλος θα προλάβει τον λαγό σε 40 × 6 = 240 άλματα.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

3. Τα εγγόνια και οι ξηροί καρποί

Ο παππούς λέει στα εγγόνια του: «Εδώ είναι 130 ξηροί καρποί για εσάς. Χωρίστε τα στα δύο έτσι ώστε το μικρότερο μέρος, μεγεθυσμένο κατά 4 φορές, να είναι ίσο με το μεγαλύτερο μέρος, μειωμένο κατά 3 φορές». Πώς να χωρίσετε τα καρύδια;

Έστω x των καρυδιών το μικρότερο μέρος και (130 - x) είναι το μεγαλύτερο μέρος. Τότε 4 παξιμάδια είναι ένα μικρότερο μέρος, αυξημένο κατά 4 φορές, (130 - x) ÷ 3 - ένα μεγάλο μέρος, μειωμένο κατά 3 φορές. Κατά συνθήκη, το μικρότερο τμήμα, αυξημένο κατά 4 φορές, ισούται με το μεγαλύτερο μέρος, μειωμένο κατά 3 φορές. Ας φτιάξουμε μια εξίσωση και ας τη λύσουμε:

4x = (130 - x) ÷ 3

4x × 3 = 130 - x

12x = 130 - x

12x + x = 130

13x = 130

x = 10

Αυτό σημαίνει ότι το μικρότερο μέρος είναι 10 καρύδια και το μεγαλύτερο είναι 130 - 10 = 120 καρύδια.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

4. Στο μύλο

Υπάρχουν τρεις μυλόπετρες στον μύλο. Στο πρώτο από αυτά μπορούν να αλέσουν 60 τέταρτα σιτηρών την ημέρα, στο δεύτερο - 54 τέταρτα και στο τρίτο - 48 τέταρτα. Κάποιος θέλει να αλέσει 81 τέταρτα σιτηρών στο συντομότερο χρόνο σε αυτές τις τρεις μυλόπετρες. Σε ποιο χρόνο χρειάζεται για το άλεσμα του κόκκου και πόσο χρειάζεται για να το ρίξετε σε κάθε μυλόπετρα;

Ο χρόνος αδράνειας οποιασδήποτε από τις τρεις μυλόπετρες αυξάνει τον χρόνο άλεσης του κόκκου, επομένως και οι τρεις μυλόπετρες πρέπει να λειτουργούν την ίδια στιγμή. Σε μια μέρα, όλες οι μυλόπετρες μπορούν να αλέσουν 60 + 54 + 48 = 162 τέταρτα σιτηρών, αλλά πρέπει να αλέσετε 81 τέταρτα. Αυτό είναι το μισό από τα 162 τέταρτα, επομένως οι μυλόπετρες πρέπει να λειτουργούν 12 ώρες. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η πρώτη μυλόπετρα πρέπει να αλέσει 30 τέταρτα, η δεύτερη - 27 τέταρτα και η τρίτη - 24 τέταρτα του κόκκου.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

5,12 άτομα

12 άτομα κουβαλούν 12 καρβέλια ψωμί. Κάθε άντρας κουβαλάει 2 ψωμιά, κάθε γυναίκα κουβαλάει μισό καρβέλι και κάθε παιδί το ένα τέταρτο. Πόσοι άνδρες, γυναίκες και παιδιά ήταν εκεί;

Αν πάρουμε τους άνδρες για το x, τις γυναίκες για το y και τα παιδιά για το z, έχουμε την ακόλουθη ισότητα: x + y + z = 12. Οι άνδρες φέρουν 2 ψωμιά - 2x, οι γυναίκες στο μισό - 0,5y, τα παιδιά στο ένα τέταρτο - 0,25 z… Ας κάνουμε την εξίσωση: 2x + 0,5y + 0,25z = 12. Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές επί 4 για να απαλλαγούμε από τα κλάσματα: 2x × 4 + 0,5y × 4 + 0,25z × 4 = 12 × 4; 8x + 2y + z = 48.

Ας επεκτείνουμε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο: 7x + y + (x + y + z) = 48. Είναι γνωστό ότι x + y + z = 12, αντικαθιστούμε τα δεδομένα στην εξίσωση και την απλοποιούμε: 7x + y + 12 = 48; 7x + y = 36.

Τώρα η μέθοδος επιλογής πρέπει να βρει το x που ικανοποιεί τη συνθήκη. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι 5, γιατί αν ήταν έξι άνδρες, τότε όλο το ψωμί θα μοιραζόταν μεταξύ τους, και τα παιδιά και οι γυναίκες δεν θα έπαιρναν τίποτα, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τον όρο. Αντικαταστήστε το 5 στην εξίσωση: 7 × 5 + y = 36; y = 36 - 35 = 1. Άρα, ήταν πέντε άνδρες, μία γυναίκα και παιδιά - 12 - 5 - 1 = 6.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

6. Αγόρια και μήλα

Τρία αγόρια έχουν μερικά μήλα το καθένα. Ο πρώτος από τους τύπους δίνει στους άλλους δύο τόσα μήλα όσα έχει ο καθένας τους. Τότε το δεύτερο αγόρι δίνει στα άλλα δύο όσα μήλα έχει τώρα το καθένα. Με τη σειρά του, το τρίτο δίνει σε καθένα από τα άλλα δύο τόσα μήλα όσα έχει το καθένα εκείνη τη στιγμή.

Μετά από αυτό, κάθε ένα από τα αγόρια έχει 8 μήλα. Πόσα μήλα είχε το κάθε παιδί στην αρχή;

Στο τέλος της ανταλλαγής, κάθε αγόρι είχε 8 μήλα. Σύμφωνα με τον όρο, το τρίτο αγόρι έδωσε στα άλλα δύο όσα μήλα είχαν. Επομένως, είχαν 4 μήλα το καθένα και το τρίτο είχε 16.

Αυτό σημαίνει ότι πριν από τη δεύτερη μεταφορά, το πρώτο αγόρι είχε 4 ÷ 2 = 2 μήλα, το τρίτο - 16 ÷ 2 = 8 μήλα και το δεύτερο - 4 + 2 + 8 = 14 μήλα. Έτσι, από την αρχή, το δεύτερο αγόρι είχε 7 μήλα, το τρίτο είχε 4 μήλα και το πρώτο είχε 2 + 7 + 4 = 13 μήλα.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

7. Αδέρφια και πρόβατα

Πέντε χωρικοί - ο Ιβάν, ο Πέτρος, ο Γιακόφ, ο Μιχαήλ και ο Γερασίμ - είχαν 10 πρόβατα. Δεν βρήκαν βοσκό να τους βοσκήσει και ο Ιβάν λέει στους άλλους: «Ας βοσκήσουμε κι εμείς, αδέρφια, με τη σειρά μας – όσες μέρες έχει ο καθένας μας πρόβατα».

Για πόσες μέρες κάθε χωρικός πρέπει να είναι βοσκός, αν είναι γνωστό ότι ο Ιβάν έχει δύο φορές λιγότερα πρόβατα από τον Πέτρο, ο Τζέικομπ έχει δύο φορές λιγότερα από τον Ιβάν. Ο Μιχαήλ έχει διπλάσια πρόβατα από τον Γιακόφ και ο Γερασίμ τετραπλάσια πρόβατα από τον Πέτρο;

Από την προϋπόθεση ότι τόσο ο Ιβάν όσο και ο Μιχαήλ έχουν διπλάσια πρόβατα από τον Τζέικομπ. Ο Πέτρος έχει διπλάσια ποσότητα από του Ιβάν και, επομένως, τέσσερις φορές περισσότερα από του Τζέικομπ. Αλλά τότε ο Γεράσιμος έχει τόσα πρόβατα όσα έχει ο Ιακώβ.

Αφήστε τον Yakov και τον Gerasim να έχουν x πρόβατα ο καθένας, μετά ο Ivan και ο Mikhail έχουν 2 πρόβατα ο καθένας, ο Peter - 4. Ας κάνουμε την εξίσωση: x + x + 2 x + 2x + 4x = 10; 10x = 10; x = 1. Αυτό σημαίνει ότι ο Yakov και ο Gerasim θα βοσκήσουν τα πρόβατα για μια μέρα, ο Ivan και ο Mikhail - για δύο ημέρες και ο Peter - για τέσσερις ημέρες.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

8. Συνάντηση ταξιδιωτών

Ένα άτομο πηγαίνει σε μια άλλη πόλη και περπατά 40 μίλια την ημέρα, και ένα άλλο άτομο πηγαίνει να τον συναντήσει από μια άλλη πόλη και περπατά 30 μίλια την ημέρα. Η απόσταση μεταξύ των πόλεων είναι 700 versts. Πόσες μέρες θα συναντηθούν οι ταξιδιώτες;

Σε μια μέρα, οι ταξιδιώτες πλησιάζουν ο ένας τον άλλον 70 μίλια. Δεδομένου ότι η απόσταση μεταξύ των πόλεων είναι 700 versts, θα συναντηθούν σε 700 ÷ 70 = 10 ημέρες.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

9. Αφεντικό και υπάλληλος

Ο ιδιοκτήτης προσέλαβε έναν υπάλληλο με τον εξής όρο: για κάθε εργάσιμη ημέρα αμείβεται με 20 καπίκια και για κάθε μη εργάσιμη ημέρα αφαιρούνται 30 καπίκια. Μετά από 60 ημέρες, ο εργαζόμενος δεν έχει κερδίσει τίποτα. Πόσες εργάσιμες μέρες ήταν;

Εάν ένα άτομο δούλευε χωρίς απουσία, τότε σε 60 ημέρες θα κέρδιζε 20 × 60 = 1.200 καπίκια. Για κάθε μη εργάσιμη μέρα του αφαιρούνται 30 καπίκια και δεν κερδίζει 20 καπίκια, δηλαδή για κάθε απουσία χάνει 20 + 30 = 50 καπίκια.

Δεδομένου ότι ο εργαζόμενος δεν κέρδισε τίποτα σε 60 ημέρες, η απώλεια για όλες τις μη εργάσιμες ημέρες ήταν 1.200 καπίκια, δηλαδή ο αριθμός των μη εργάσιμων ημερών είναι 1.200 ÷ 50 = 24 ημέρες. Ο αριθμός των εργάσιμων ημερών είναι επομένως 60 - 24 = 36 ημέρες.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης

10. Άνθρωποι στην ομάδα

Ο αρχηγός, όταν ρωτήθηκε πόσα άτομα έχει στην ομάδα του, απάντησε: «Είναι 9 άτομα, δηλαδή ⅓ ομάδες, οι υπόλοιποι φρουρούν». Πόσοι είναι σε επιφυλακή;

Συνολικά, η ομάδα αποτελείται από 9 × 3 = 27 άτομα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν 27 - 9 = 18 άτομα σε φρουρά.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης