Το πρόβλημα του μεσαιωνικού μαθηματικού Λεονάρντο Φιμπονάτσι για τα κουνέλια

2024 Συγγραφέας: Malcolm Clapton | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 03:52

Υπολογίστε τι απογόνους θα δώσει ένα ζευγάρι ζώων μέχρι τις αρχές του επόμενου έτους.

Ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι ήταν ένας εξαιρετικός μαθηματικός του Μεσαίωνα. Πιστεύεται ότι ήταν αυτός που εισήγαγε τους αραβικούς αριθμούς στη χρήση. Στο The Book of the Abacus, ένα έργο που επεξηγεί και προωθεί τη δεκαδική αριθμητική, ο Fibonacci δίνει το διάσημο πρόβλημά του στα κουνέλια. Προσπαθήστε να το λύσετε.

Στις αρχές Ιανουαρίου, ένα ζευγάρι νεογέννητα κουνέλια (αρσενικά και θηλυκά) τοποθετήθηκαν σε ένα στυλό, περιφραγμένο από όλες τις πλευρές. Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα βγάλουν μέχρι τις αρχές του επόμενου έτους; Είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

• Τα κουνέλια φτάνουν σε σεξουαλική ωριμότητα δύο μήνες μετά τη γέννησή τους, δηλαδή στην αρχή του τρίτου μήνα της ζωής τους.
• Στην αρχή κάθε μήνα, κάθε σεξουαλικά ώριμο ζευγάρι γεννά μόνο ένα ζευγάρι.
• Τα ζώα γεννιούνται πάντα σε ζευγάρια «ένα θηλυκό + ένα αρσενικό».
• Τα κουνέλια είναι αθάνατα, τα αρπακτικά δεν μπορούν να τα φάνε.

Ας δούμε πώς αυξάνεται ο αριθμός των κουνελιών τους πρώτους έξι μήνες:

Μήνας 1. Ένα ζευγάρι νεαρά κουνέλια.

Μήνας 2. Υπάρχει ακόμα ένα πρωτότυπο ζευγάρι. Τα κουνέλια δεν έχουν φτάσει ακόμη σε αναπαραγωγική ηλικία.

Μήνας 3. Δύο ζευγάρια: το αρχικό, έχοντας φτάσει σε αναπαραγωγική ηλικία + ένα ζευγάρι νεαρά κουνέλια που γέννησε.

Μήνας 4. Τρία ζευγάρια: ένα αρχικό ζευγάρι + ένα ζευγάρι κουνέλια που γέννησε στις αρχές του μήνα + ένα ζευγάρι κουνελάκια που γεννήθηκαν τον τρίτο μήνα, αλλά δεν έχουν φτάσει ακόμη στην εφηβεία.

Μήνας 5. Πέντε ζευγάρια: ένα αρχικό ζευγάρι + ένα ζευγάρι που γεννήθηκε τον τρίτο μήνα και έφτασε σε αναπαραγωγική ηλικία + δύο νέα ζευγάρια που γέννησαν + ένα ζευγάρι που γεννήθηκε τον τέταρτο μήνα, αλλά δεν έχει ακόμη ωριμάσει.

Μήνας 6. Οκτώ ζευγάρια: πέντε ζευγάρια από τον προηγούμενο μήνα + τρία νεογέννητα ζευγάρια. Και τα λοιπά.

Για να γίνει πιο σαφές, ας γράψουμε τα ληφθέντα δεδομένα στον πίνακα:

Εάν εξετάσετε προσεκτικά τον πίνακα, μπορείτε να προσδιορίσετε το ακόλουθο μοτίβο. Κάθε φορά που ο αριθμός των κουνελιών που υπάρχουν στον ένατο μήνα είναι ίσος με τον αριθμό των κουνελιών του (n - 1) προηγούμενου μήνα, συνοψιζόμενος με τον αριθμό των νεογέννητων κουνελιών. Ο αριθμός τους, με τη σειρά του, είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό των ζώων κατά τον (n - 2) μήνα (που ήταν πριν από δύο μήνες). Από εδώ μπορείτε να βγάλετε τον τύπο:

φά = Φ_{n - 1}+ Φ_n-2, όπου F - ο συνολικός αριθμός ζευγών κουνελιών τον ν-ο μήνα, F_{n - 1} είναι ο συνολικός αριθμός των ζευγών κουνελιών τον προηγούμενο μήνα και F_n-2 - ο συνολικός αριθμός των ζευγών κουνελιών πριν από δύο μήνες.

Ας μετρήσουμε τον αριθμό των ζώων στους επόμενους μήνες που το χρησιμοποιούν:

Μήνας 7. 8 + 5 = 13.

Μήνας 8. 13 + 8 = 21.

Μήνας 9. 21 + 13 = 34.

Μήνας 10. 34 +21 = 55.

Μήνας 11. 55 + 34 = 89.

Μήνας 12. 89 + 55 = 144.

Μήνας 13 (αρχές του επόμενου έτους). 144 + 89 = 233.

Στις αρχές του 13ου μήνα, δηλαδή στο τέλος του χρόνου, θα έχουμε 233 ζευγάρια κουνελιών. Από αυτούς, οι 144 θα είναι ενήλικες και οι 89 θα είναι νέοι. Η προκύπτουσα ακολουθία 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ονομάζεται αριθμοί Fibonacci. Σε αυτό, κάθε νέος τελικός αριθμός ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Εμφάνιση απάντησης Απόκρυψη απάντησης