Το Naked Statistics είναι το πιο ενδιαφέρον βιβλίο για την πιο βαρετή επιστήμη

2024 Συγγραφέας: Malcolm Clapton | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 03:52

Ποιος είπε ότι η στατιστική είναι μια βαρετή και άχρηστη επιστήμη; Ο Charles Wheelan υποστηρίζει πειστικά ότι αυτό απέχει πολύ από την περίπτωση. Σήμερα δημοσιεύουμε ένα απόσπασμα από το βιβλίο του για το πώς να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο, όχι μια κατσίκα, χρησιμοποιώντας στατιστικά και καταλάβετε ότι η διαίσθηση μπορεί να σας παραπλανήσει.

Το αίνιγμα του Monty Hall

Το Μυστήριο του Μόντι Χολ είναι ένα διάσημο πρόβλημα στη θεωρία πιθανοτήτων που μπέρδεψε τους συμμετέχοντες σε ένα παιχνίδι που ονομάζεται Let’s Make a Deal, που εξακολουθεί να είναι δημοφιλές σε πολλές χώρες, το οποίο έκανε πρεμιέρα στις Ηνωμένες Πολιτείες το 1963. (Θυμάμαι κάθε φορά που έβλεπα αυτήν την παράσταση ως παιδί, όταν δεν πήγαινα σχολείο λόγω ασθένειας.) Στην εισαγωγή του βιβλίου, ήδη επεσήμανα ότι αυτή η εκπομπή παιχνιδιού μπορεί να είναι ενδιαφέρουσα για τους στατιστικολόγους. Στο τέλος κάθε τεύχους του, ο συμμετέχων που έφτασε στον τελικό στάθηκε με το Monty Hall μπροστά σε τρεις μεγάλες πόρτες: Θύρα Νο. 1, Θύρα Νο. 2 και Θύρα Νο. 3. Ο Monty Hall εξήγησε στον φιναλίστ ότι πίσω από μία από αυτές τις πόρτες ήταν ένα πολύτιμο έπαθλο - για παράδειγμα ένα καινούργιο αυτοκίνητο και μια κατσίκα πίσω από τις άλλες δύο. Ο φιναλίστ έπρεπε να διαλέξει μία από τις πόρτες και να πάρει αυτό που κρυβόταν πίσω από αυτήν. (Δεν ξέρω αν υπήρχε τουλάχιστον ένα άτομο μεταξύ των συμμετεχόντων στην παράσταση που ήθελε να πάρει μια κατσίκα, αλλά για λόγους απλότητας, θα υποθέσουμε ότι η συντριπτική πλειοψηφία των συμμετεχόντων ονειρευόταν ένα νέο αυτοκίνητο.)

Η αρχική πιθανότητα νίκης είναι αρκετά εύκολο να προσδιοριστεί. Υπάρχουν τρεις πόρτες, δύο κρύβει μια κατσίκα και η τρίτη κρύβει ένα αυτοκίνητο. Όταν ένας συμμετέχων στην παράσταση στέκεται μπροστά σε αυτές τις πόρτες με το Monty Hall, έχει μία από τις τρεις πιθανότητες να επιλέξει την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο. Αλλά, όπως σημειώθηκε παραπάνω, υπάρχει μια σύλληψη στο Let’s Make a Deal που απαθανάτισε αυτό το τηλεοπτικό πρόγραμμα και τον παρουσιαστή του στη βιβλιογραφία για τη θεωρία πιθανοτήτων. Αφού ο φιναλίστ του σόου δείχνει μια από τις τρεις πόρτες, το Monty Hall ανοίγει μια από τις δύο πόρτες που έχουν απομείνει, πίσω από τις οποίες υπάρχει πάντα μια κατσίκα. Στη συνέχεια, ο Monty Hall ρωτά τον φιναλίστ εάν θέλει να αλλάξει γνώμη, δηλαδή να εγκαταλείψει την προηγουμένως επιλεγμένη κλειστή πόρτα υπέρ μιας άλλης κλειστής πόρτας.

Ας πούμε, για χάρη του παραδείγματος, ότι ο συμμετέχων έδειξε την Πόρτα # 1. Στη συνέχεια, ο Monty Hall άνοιξε την πόρτα # 3, πίσω από την οποία κρυβόταν η κατσίκα. Δύο πόρτες, η πόρτα # 1 και η πόρτα # 2, παραμένουν κλειστές. Αν το πολύτιμο έπαθλο βρισκόταν πίσω από τη Θύρα Νο. 1, ο φιναλίστ θα το είχε κερδίσει και αν ήταν πίσω από τη Θύρα Νο. 2, τότε θα είχε χάσει. Σε αυτό το σημείο είναι που ο Monty Hall ρωτά τον παίκτη εάν θέλει να αλλάξει την αρχική του επιλογή (σε αυτή την περίπτωση, εγκαταλείψει τη Θύρα # 1 υπέρ της Θύρας # 2). Φυσικά, θα θυμάστε ότι και οι δύο πόρτες είναι ακόμα κλειστές. Η μόνη νέα πληροφορία που έλαβε ο συμμετέχων ήταν ότι η κατσίκα κατέληξε πίσω από μία από τις δύο πόρτες που δεν επέλεξε.

Πρέπει ο φιναλίστ να εγκαταλείψει την αρχική επιλογή υπέρ της Θύρας # 2;

Απαντώ: ναι, θα έπρεπε. Εάν επιμείνει στην αρχική επιλογή, τότε η πιθανότητα να κερδίσει ένα πολύτιμο έπαθλο θα είναι ⅓. αν αλλάξει γνώμη και δείξει τη Θύρα Νο. 2, τότε η πιθανότητα να κερδίσει ένα πολύτιμο έπαθλο θα είναι ⅔. Αν δεν με πιστεύετε, διαβάστε.

Ομολογώ ότι αυτή η απάντηση απέχει πολύ από το να είναι προφανής με την πρώτη ματιά. Φαίνεται ότι όποια από τις υπόλοιπες δύο πόρτες επιλέξει ο φιναλίστ, η πιθανότητα να λάβει ένα πολύτιμο έπαθλο και στις δύο περιπτώσεις είναι ⅓. Υπάρχουν τρεις κλειστές πόρτες. Αρχικά, η πιθανότητα να κρύβεται ένα πολύτιμο έπαθλο πίσω από κάποιο από αυτά είναι ⅓. Η απόφαση του φιναλίστ να αλλάξει την επιλογή του υπέρ μιας άλλης κλειστής πόρτας έχει κάποια διαφορά;

Φυσικά, αφού το αλιευτικό είναι ότι το Monty Hall ξέρει τι υπάρχει πίσω από κάθε πόρτα. Εάν ο φιναλίστ επιλέξει τη Θύρα # 1 και υπάρχει όντως ένα αυτοκίνητο πίσω της, το Monty Hall μπορεί να ανοίξει είτε την Θύρα #2 είτε την Θύρα #3 για να αποκαλύψει την κατσίκα που κρύβεται πίσω της.

Εάν ο φιναλίστ επιλέξει τη Θύρα 1 και το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από τη Θύρα 2, τότε το Monty Hall θα ανοίξει τη Θύρα 3.

Εάν ο φιναλίστ δείξει τη Θύρα 1 και το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από τη Θύρα 3, τότε το Monty Hall θα ανοίξει τη Θύρα 2.

Αλλάζοντας γνώμη αφού ο παρουσιαστής ανοίξει μια από τις πόρτες, ο φιναλίστ αποκτά το πλεονέκτημα να επιλέξει δύο πόρτες αντί για μία. Θα προσπαθήσω να σας πείσω για την ορθότητα αυτής της ανάλυσης με τρεις διαφορετικούς τρόπους.

Το πρώτο είναι εμπειρικό. Το 2008, ο αρθρογράφος των New York Times, John Tyerney, έγραψε για το φαινόμενο Monty Hall. Μετά από αυτό, το προσωπικό της δημοσίευσης ανέπτυξε ένα διαδραστικό πρόγραμμα που σας επιτρέπει να παίξετε αυτό το παιχνίδι και να αποφασίσετε ανεξάρτητα αν θα αλλάξετε την αρχική σας επιλογή ή όχι. (Το πρόγραμμα προβλέπει ακόμη και κατσικάκια και αυτοκινητάκια που εμφανίζονται πίσω από τις πόρτες.) Το πρόγραμμα καταγράφει τα κέρδη σας σε περίπτωση που αλλάξετε την αρχική σας επιλογή και σε περίπτωση που δεν πειστείτε. Πλήρωσα μια από τις κόρες μου για να παίξει αυτό το παιχνίδι 100 φορές, αλλάζοντας την αρχική της επιλογή κάθε φορά. Πλήρωσα επίσης τον αδερφό της να παίξει το παιχνίδι 100 φορές, κρατώντας την αρχική απόφαση κάθε φορά. Η κόρη κέρδισε 72 φορές. ο αδερφός της 33 φορές. Κάθε προσπάθεια ανταμείφθηκε με δύο δολάρια.

Τα στοιχεία από τα επεισόδια του παιχνιδιού Let’s Make a Deal δείχνουν το ίδιο μοτίβο. Σύμφωνα με τον Leonard Mlodinov, συγγραφέα του The Drunkard's Walk, εκείνοι οι φιναλίστ που άλλαξαν την αρχική τους επιλογή είχαν περίπου διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσουν από εκείνους που δεν είχαν πειστεί.

Η δεύτερη εξήγησή μου για αυτό το φαινόμενο βασίζεται στη διαίσθηση. Ας πούμε ότι οι κανόνες του παιχνιδιού έχουν αλλάξει ελαφρώς. Για παράδειγμα, ο φιναλίστ ξεκινά επιλέγοντας μία από τις τρεις πόρτες: Θύρα # 1, Θύρα # 2 και Θύρα # 3, όπως είχε αρχικά προγραμματιστεί. Ωστόσο, στη συνέχεια, πριν ανοίξει κάποια από τις πόρτες, πίσω από τις οποίες κρύβεται η κατσίκα, ο Μόντι Χολ ρωτά: «Συμφωνείτε να εγκαταλείψετε την επιλογή σας με αντάλλαγμα να ανοίξετε τις δύο πόρτες που απομένουν;» Έτσι, εάν επιλέξατε την Πόρτα # 1, μπορείτε να αλλάξετε γνώμη υπέρ της Πόρτας # 2 και της Θύρας # 3. Εάν δείξατε πρώτα την Πόρτα # 3, μπορείτε να επιλέξετε Πόρτα # 1 και Πόρτα # 2. Και ούτω καθεξής.

Αυτή δεν θα ήταν μια ιδιαίτερα δύσκολη απόφαση για εσάς: είναι προφανές ότι θα πρέπει να εγκαταλείψετε την αρχική επιλογή υπέρ των δύο υπόλοιπων θυρών, καθώς αυτό αυξάνει τις πιθανότητες να κερδίσετε από ⅓ σε ⅔. Το πιο ενδιαφέρον είναι ότι είναι αυτό, στην ουσία, που σου προσφέρει το Monty Hall σε ένα πραγματικό παιχνίδι, αφού ανοίξει την πόρτα πίσω από την οποία κρύβεται η κατσίκα. Το θεμελιώδες γεγονός είναι ότι αν σου δινόταν η ευκαιρία να διαλέξεις δύο πόρτες, μια κατσίκα θα κρυβόταν ούτως ή άλλως πίσω από μια από αυτές. Όταν το Monty Hall ανοίγει την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται η κατσίκα και μόνο τότε σας ρωτά αν συμφωνείτε να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή, αυξάνει σημαντικά τις πιθανότητές σας να κερδίσετε ένα πολύτιμο έπαθλο! Βασικά, το Monty Hall σας λέει: "Οι πιθανότητες να κρύβεται ένα πολύτιμο έπαθλο πίσω από μία από τις δύο πόρτες που δεν επιλέξατε την πρώτη φορά είναι ⅔, που είναι ακόμα περισσότερο από ⅓!"

Μπορείτε να το φανταστείτε έτσι. Ας υποθέσουμε ότι υποδείξατε την πόρτα # 1. Μετά από αυτό, το Monty Hall σας δίνει την ευκαιρία να εγκαταλείψετε την αρχική απόφαση υπέρ της Θύρας # 2 και της Θύρας # 3. Συμφωνείτε και έχετε δύο πόρτες στη διάθεσή σας, που σημαίνει ότι έχετε για κάθε λόγο να περιμένετε να κερδίσετε ένα πολύτιμο έπαθλο με πιθανότητα ⅔, όχι ⅓. Τι θα είχε συμβεί αν αυτή τη στιγμή ο Monty Hall άνοιγε τη Θύρα 3 -μια από τις «δικές» σας πόρτες- και πίσω της υπήρχε μια κατσίκα; Αυτό το γεγονός θα κλονίσει την εμπιστοσύνη σας στην απόφασή σας; Φυσικά και όχι. Αν το αυτοκίνητο κρυβόταν πίσω από την πόρτα 3, το Monty Hall θα άνοιγε την πόρτα 2! Δεν θα σου έδειχνε τίποτα.

Όταν το παιχνίδι παίζεται σύμφωνα με ένα σενάριο knock-off, το Monty Hall σας δίνει πραγματικά την επιλογή ανάμεσα στην πόρτα που καθορίσατε στην αρχή και στις δύο υπόλοιπες πόρτες, η μία από τις οποίες θα μπορούσε να είναι αυτοκίνητο. Όταν ο Monty Hall ανοίγει την πόρτα πίσω από την οποία κρύβεται η κατσίκα, απλώς σας κάνει τη χάρη δείχνοντάς σας ποια από τις άλλες δύο πόρτες δεν είναι το αυτοκίνητο. Έχετε τις ίδιες πιθανότητες να κερδίσετε και στα δύο παρακάτω σενάρια.

1. Επιλέγοντας τη Θύρα # 1 και, στη συνέχεια, συμφωνείτε να «μεταβείτε» στη Θύρα #2 και τη Θύρα #3, ακόμη και πριν ανοίξει οποιαδήποτε πόρτα.
2. Επιλέγοντας τη Θύρα # 1 και, στη συνέχεια, συμφωνώντας να "μεταβείτε" στη Θύρα # 2, αφού το Monty Hall σας δείξει τη γίδα πίσω από τη Θύρα # 3 (ή επιλέγοντας τη Θύρα # 3 αφού το Monty Hall σας δείξει την κατσίκα πίσω από τη Θύρα # 2).

Και στις δύο περιπτώσεις, η εγκατάλειψη της αρχικής απόφασης σας δίνει το πλεονέκτημα των δύο θυρών έναντι της μίας, και έτσι μπορείτε να διπλασιάσετε τις πιθανότητές σας να κερδίσετε από ⅓ σε ⅔.

Η τρίτη μου επιλογή είναι μια πιο ριζοσπαστική εκδοχή της ίδιας βασικής διαίσθησης. Ας υποθέσουμε ότι το Monty Hall σας ζητά να επιλέξετε μία από τις 100 πόρτες (αντί για μία από τις τρεις). Αφού το κάνετε αυτό, πείτε δείχνοντας την Πόρτα # 47, ανοίγει τις 98 πόρτες που απομένουν, οι οποίες θα αποκαλύψουν τις κατσίκες. Τώρα μόνο δύο πόρτες παραμένουν κλειστές: η πόρτα σας Νο. 47 και μια άλλη, για παράδειγμα, η Πόρτα Νο. 61. Θα πρέπει να εγκαταλείψετε την αρχική σας επιλογή;

Φυσικά ναι! Υπάρχει 99 τοις εκατό πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από μια από τις πόρτες που δεν επιλέξατε αρχικά. Το Monty Hall σας έκανε την ευγένεια ανοίγοντας 98 από αυτές τις πόρτες, δεν υπήρχε αυτοκίνητο πίσω τους. Έτσι, υπάρχει μόνο 1 στις 100 πιθανότητες η αρχική σας επιλογή (Θύρα # 47) να είναι σωστή. Ταυτόχρονα, υπάρχει 99 στις 100 πιθανότητες να ήταν λάθος η αρχική σας επιλογή. Αν ναι, τότε το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την εναπομείνασα πόρτα, δηλαδή την Θύρα Νο. 61. Αν θέλετε να παίξετε με την πιθανότητα να κερδίσετε 99 φορές στις 100, τότε θα πρέπει να «περάσετε» στην Θύρα Νο. 61.

Εν ολίγοις, αν χρειαστεί ποτέ να παίξετε Let’s Make a Deal, θα χρειαστεί σίγουρα να κάνετε πίσω στην αρχική σας απόφαση όταν ο Monty Hall (ή όποιος θα τον αντικαταστήσει) σας δώσει μια επιλογή. Ένα πιο καθολικό συμπέρασμα από αυτό το παράδειγμα είναι ότι οι διαισθητικές εικασίες σας σχετικά με την πιθανότητα ορισμένων γεγονότων μπορεί μερικές φορές να σας παραπλανήσουν.